Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）若f（3）=-1，解关于x不等式f（x²-3x-1）＜-2．

Answer 1

分析：（1）赋值法可解；
（2）定义法证明函数的单调性；
（3）利用（2）中的单调性化不等式为x²-3x-1＞9，可得答案．

解答：解：（1）由任意性，令x₁=x₂∈（0，+∞），则f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是减函数．下面证明
证明：任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，又由已知 f(

x2

x1

)＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）f(3)=f(

9

3

)=f(9)-f(3)，由f（3）=-1得f（9）=-2．
则f（x²-3x-1）＜-2，可化为f（x²-3x-1）＜f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴x²-3x-1＞9，解得x＜-2或x＞5．
∴原不等式的解集为{x|x＜-2或x＞5}．

点评：本题为函数的单调性的证明，并利用单调性来求解不等式，属基础题．