Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+p，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-5．设c_n=

an，an≤bn bn，an＞bn

，若在数列{c_n}中，c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），则实数p的取值范围是______．

Answer 1

当a_n≤b_n时，c_n=a_n，当a_n＞b_n时，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的较小者，
因为a_n=-n+p，所以{a_n}是递减数列；因为b_n=2^n-5，所以{b_n}是递增数列，
因为c₈＞c_n（n≠8），所以c₈是c_n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，c_n递增，n=8，9，10，…时，c_n递减，
因此，n=1，2，3，…7时，2^n-5＜-n+p总成立，
当n=7时，2^7-5＜-7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2^n-5＞-n+p总成立，
当n=9时，2^9-5＞-9+p，成立，∴p＜25，
而c₈=a₈或c₈=b₈，
若a₈≤b₈，即2³≥p-8，所以p≤16，
则c₈=a₈=p-8，
∴p-8＞b₇=2^7-5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
 若a₈＞b₈，即p-8＞2^8-5，所以p＞16，
∴c₈=b₈=2³，
那么c₈＞c₉=a₉，即8＞p-9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故答案为：（12，17）．