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函数f(x)=
a,(x=3)
(
1
3
)|x-3|+2(x≠3)
,若关于x的方程2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有五个不同的实数解,则实数a的范围(  )
A、(1,
5
2
)∪(
5
2
,3)
B、(2,3)
C、(2,
5
2
)∪(
5
2
,3)
D、(1,3)
考点:分段函数的应用
专题:综合题,函数的性质及应用
分析:题中原方程2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有5个不同实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图,由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根;再结合2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有两个不等实根,即可求出结论.
解答:解:∵题中原方程2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有且只有5个不同实数解,
∴即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,
∴故先根据题意作出f(x)的简图
由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.
∴有:2<a<3    ①.
再根据2f2(x)-(2a+5)f(x)+5a=0有两个不等实根,
得:△=(2a+5)2-4×2×5a>0⇒a≠
5
2
    ②
结合①②得:1<a<
5
2
5
2
<a<2.
故选:C.
点评:本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合的方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义域为l的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆l,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n],f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]是函数y=f(x)的“好区间”,已知函数P(x)=
(t2+t)x-1
t2x
(t∈R,t≠0)有“好区间[m,n],则当t变化时,n-m的最大值是”(  )
A、
2
3
3
B、
3
3
C、
1
2
D、
1
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x-
1
2
x+a,则函数f(x)的零点个数是(  )
A、1B、2C、3D、4

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已知正数x,y满足
2x-y≤0
x-2y+5≥0
,则z=4-x•(
1
2
y的最小值为(  )
A、
1
32
B、
32
4
C、1
D、
1
16

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=
2x-1(0≤x≤1)
1
x
(x≥1)
,g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是(  )
A、[-2,2]
B、[-2,-
1
2
]∪[
1
2
,2]
C、[-
1
2
,0)∪(0,
1
2
]
D、(-∞,-2]∪[2,+∞)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(-1)nsin
πx
2
+2n,x∈[2n,2n+1)
(-1)n+1sin
πx
2
+2n+2,x∈[2n+1,2n+2)
,(n∈N),则f(1)-f(2)+f(3)-f(4)+…+f(2013)-f(2014)=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(
1
2
)x,x<0
(x-1)2, x≥0
,若f(f(-2))>f(k),则实数k的取值范围为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a•2xx≤0
log
1
2
x,
x>0
,若关于f(f(x))=0有且只有一个实数解,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点A(2,0),B(-2,4),C(5,8),若线段AB和CD有相同的垂直平分线,则点D的坐标是(  )
A、(6,7)B、(7,6)C、(-5,-4)D、(-4,-5)

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