Question

已知函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．
（1）若函数y=f（x）的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
（2）若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，利用二次函数的最小值的为1，解方程即可求得实数a的值；
（2）将题中条件：“两个函数图象有且只有一个公共点，”等价于“h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）图象与x轴只有一个交点”，利用导数求得函数的极值，最后要使h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）图象与x轴只有一个交点，得到关于a的不等关系，从而求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a，求导得
f′（x）=6x²-6（a-1）x+4≥

4×6×4-36(a-1)2

4×6

=4-

3

2

(a-1)2=1，
∴a=1±

2

，
（2）∵g（x）=4x+6的图象是一条直线，
因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f（x）=g（x）的解的个数，
所以只需研究函数h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）图象与x轴关系．
h′（x）=6x²-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，
①当a=1时，h′（x）=6x²≥0，h（x）在R上单调递增，则h（x）与x轴只有一个交点；
②当a≠1时，h′（x）=0有两根x₁=0，x₂=a-1，
而h（x₁）=6（a-1），h（x₂）=（a-1）[6-（a-1）²]，
∵h（x）与x轴只有一个交点，则需h（x₁）h（x₂）＞0，
∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）²]＞0，解得1-

6

＜a＜1+

6

且a≠1，
由①②可知实数a的取值范围为（1-

6

，1+

6

）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．属中档题．