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设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆 (a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论:①a2+b2≥(x+y)2;②;③;④.其中正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】分析:由于点在椭圆上,则点的坐标满足椭圆的方程.
①用()(a2+b2)替换(a2+b2),
②用()()替换(),再根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2可得;
③由椭圆的参数方程可求证;
④利用椭圆的有界性来做.
解答:解:由于 P(x,y)是椭圆 (a>0,b>0)上的点,则
①(a2+b2)=(a2+b2≥(x+y)2,故①正确;
,故②也正确;
③由椭圆的参数方程知=,显然③也正确;
④由于Q(x′,y′) 是椭圆 (a>0,b>0)上的点.
依据椭圆的有界性知xx′≤a2,yy′≤b2,故,故④也正确.
故答案选D.
点评:本题考查的知识点是,判断命题真假,同时考查了不等式,我们可以根据不等式的性质对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆 
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论:①a2+b2≥(x+y)2;②
1
x2
+
1
y2
≥(
1
a
+
1
b
)2
;③
a2
x2
+
b2
y2
≥4
;④
xx′
a2
+
yy′
b2
≤1
.其中正确的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆 
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论:①a2+b2≥(x+y)2;②
1
x2
+
1
y2
≥(
1
a
+
1
b
)2
;③
a2
x2
+
b2
y2
≥4
;④
xx′
a2
+
yy′
b2
≤1
.其中正确的个数为(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省嘉兴一中高三(上)10月月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省温州市瓯海中学高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆 (a>0,b>0)上的两点,则下列四个结论:①a2+b2≥(x+y)2;②;③;④.其中正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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