Question

【题目】已知右焦点为F的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（1， ），直线x=a与抛物线L：x2= y交于点N，且 = ，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．
①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设N（a，y0），连接MN，由 = ，则OMNF为平行四边形，则y0= ，

将M（1， ）代入抛物线方程：解得：a=2，

将M（1， ）代入椭圆方程： ，解得：b2=3，

∴椭圆的标准方程：

（2）解：①证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），

则A（x1，﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

x1+x2= ，x1x2= ，①

则直线AE的方程为：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，

由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

∴x= ，

∴x=1，

∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）；

②由题意可知，直线MF的方程为x=1，则kOM= ，设直线l：y= x+n，（n≠1），

设A（x3，y3），B（x4，y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，

△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，

x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，

则kMA+kMB= + = +

=1+ + =1+ =1﹣ =0，

直线MA，MB关于直线x=1对称

【解析】（1）将由 = ，即可求得N点坐标，将M代入抛物线方程，即可求得a，代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；（2）①设直线PB的方程，设B，E点坐标，将直线PB代入椭圆方程，求得直线AE的方程，利用韦达定理即可求得x的值，直线AE与x轴相交于定点（1，0）；

②设直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得n的取值范围，利用直线的斜率公式及韦达定理kMA+kMB=0，则直线MA，MB关于直线x=1对称．