Question

（2010•马鞍山模拟）已知向量

a

=(2cos，2sinx)，向量

b

=(

3

cosx，-cosx)，函数f(x)=

a

•

b

-

3

．
（1）求函数f（x）（2）的最小正周期；
（3）求函数f（x）（4）的单调递增区间；
（5）求函数f（x）（6）在区间[

π

12

，

7π

12

]（7）上的值域．

Answer 1

分析：利用向量的数量积的运算及二倍角、辅助角公式对函数化简可得f(x)=

a

•

b

-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根据周期公式可求
（2）结合余弦函数的单调增区间可得2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π，从而可求
（3）由

π

12

≤x≤

7π

12

可得

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

 结合余弦函数的性质可求

解答：解：f(x)=

a

•

b

-

3

=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

=

3

(1+cos2x)-sin2x-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根据周期公式可得，T=π
（2）由2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

5π

12

函数的单调递增区间为：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]
（3）∵

π

12

≤x≤

7π

12

∴

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

6

)≤

1

2

∴-2≤f（x）≤1

点评：本题以向量的运算为切入点主要考查了二倍角公式、辅助角公式的应用，还考查了三角函数的性质：周期性，单调区间及函数的值域的求解，属于基本知识的简单运用．