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【题目】已知函数.

1)当时,证明:

2)若只有一个零点,求.

【答案】1)证明见解析;(22

【解析】

1)当时,,其定义域为,利用导函数可求得上的单调性,进而可证明

2)若,利用导数研究函数的单调性,可证明函数的零点个数不唯一,与已知条件矛盾;若时,由(1)可知,只有一个零点.

1)当时,,其定义域为

,则

,则,则,则上单调递减,

,故,故上单调递增,

,故对任意恒成立;

,因为,所以,则上单调递减,

,故对任意恒成立.

综上,当时,对任意恒成立.

2)①若时,令,则

易知时,,则,即上单调递减,

,且

结合零点存在性定理知在内存在实数使得

时,单调递增,时,单调递减.

,可知.

因为,所以,即

所以

因为时,,所以

因为,所以上存在一个不为0的零点,

因为,所以时,函数的零点个数不唯一,与题意矛盾,所以

②若时,,易知上单调递减,

结合零点存在性定理知,存在使得

故当时,时,

上单调递增,上单调递减,

,故

构造函数,则

,显然时,

单调递减,又,故,故单调递减,

,故,即,对任意恒成立,

因为,所以,故,即,故恒成立,

所以

因为时,,而,所以,即

所以上存在一个大于0的零点,

因为,所以时,函数的零点个数不唯一,与题意矛盾,所以

时,由(1)知,上单调递增,在上单调递减,且,显然函数只有一个零点.

综上,要使只有一个零点,则.

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