【题目】已知函数,.
(1)当时,证明:;
(2)若在只有一个零点,求.
【答案】(1)证明见解析;(2)2
【解析】
(1)当时,,其定义域为,利用导函数可求得在上的单调性,进而可证明;
(2)若或,利用导数研究函数的单调性,可证明函数的零点个数不唯一,与已知条件矛盾;若时,由(1)可知,在只有一个零点.
(1)当时,,其定义域为,
令,则,
若,则,则,则在上单调递减,
又,故,故在上单调递增,
又,故对任意,恒成立;
若,因为且,所以,则在上单调递减,
又,故对任意,恒成立.
综上,当时,对任意,恒成立.
(2)①若时,令,则,
易知时,,则,即在上单调递减,
由,且,,
结合零点存在性定理知在内存在实数使得,
故时,单调递增,时,单调递减.
由,可知.
因为,所以,即,
所以,
因为时,,所以,
因为,,所以在上存在一个不为0的零点,
因为,所以时,函数的零点个数不唯一,与题意矛盾,所以;
②若时,,易知在上单调递减,
又,,
结合零点存在性定理知,存在使得,
故当时,,时,,
即在上单调递增,在上单调递减,
又,故;
构造函数,,则,
则,显然时,,
故在单调递减,又,故,故在单调递减,
又,故,即,对任意恒成立,
因为,所以,故,即,故恒成立,
所以,
因为时,,而,,所以,即,
所以在上存在一个大于0的零点,
因为,所以时,函数的零点个数不唯一,与题意矛盾,所以;
若时,由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,且,显然函数在只有一个零点.
综上,要使在只有一个零点,则.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,过的直线与抛物线C交于两点,点A在第一象限,抛物线C在两点处的切线相互垂直.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若点P为抛物线C上异于的点,直线均不与轴平行,且直线AP和BP交抛物线C的准线分别于两点,.
(i)求直线的斜率;
(ⅱ)求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
设等差数列的前项和为,数列的前项和为,________,,若对于任意都有,且(为常数),求正整数的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,直线:,点为上一动点,过作直线,为的中垂线,与交于点,设点的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)若过的直线与Γ交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求与的比值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线过抛物线的焦点,且与该抛物线交于,两点,若线段的长是16,的中点到轴的距离是6,是坐标原点,则( ).
A.抛物线的方程是B.抛物线的准线方程是
C.直线的方程是D.的面积是
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线、的极坐标方程;
(2)射线:与曲线,分别交于点,(且点,均异于原点),当时,求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在三棱柱中,侧面为菱形,,,侧面为正方形,平面平面.点为线段的中点,点在线段上,且.
(1)证明:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com