Question

17．若函数f（x）=（x²-ax+a+1）e^x（a∈N）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为x-y+6=0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据f′（1）•f′（3）＜0，得到关于a的不等式，求出a的值，从而计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可．

解答 解：f′（x）=e^x[x²+（2-a）x+1]，
若f（x）在（1，3）只有1个极值点，
则f′（1）•f′（3）＜0，
即（a-4）（3a-16）＜0，
解得：4＜a＜$\frac{16}{3}$，a∈N，
故a=5；
故f（x）=e^x（x²-5x+6），f′（x）=e^x（x²-3x+1），
故f（0）=6，f′（0）=1，
故切线方程是：y-6=x，
故答案为：x-y+6=0．

点评 本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及求曲线的切线方程问题，是一道中档题．