Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且有aⁿ+bⁿ=cⁿ（n≥3），则△ABC的形状为（　　）

• A． 直角三角形
• B． 锐角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 直角或钝角三角形

Answer 1

分析 由题意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根据aⁿ＜a²•c^n-2，bⁿ＜b²•c^n-2，可得 c² ＜a²+b²，从而△ABC为锐角三角形

解答 解：当 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n≥3）时，三角形一定是锐角三角形．
∵aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n≥3），
∴c边为三角形ABC的最大边，
∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴aⁿ=a²•a^n-2＜a²•c^n-2，bⁿ=b²•b^n-2＜b²•c^n-2．
∴cⁿ=aⁿ+bⁿ＜a²•c^n-2+b²•c^n-2=（a²+b²）c^n-2，
∴c² ＜a²+b²，
故△ABC为锐角三角形．
综上，当 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）时，三角形一定是锐角三角形．
故选：B．

点评 本题主要考查三角形形状的判断，证明当 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）时，c² ＜a²+b²，是解题的难点．