Question

已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．

(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）x²－x＋y²＝4
（2）存在，(1，－2)和(1,2)

(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．
由垂径定理知|OP|²＋|AP|²＝|OA|²，
即|OP|²＋|CP|²＝9．
设点P(x，y)，有(x²＋y²)＋[(x－1)²＋y²]＝9，
化简，得到x²－x＋y²＝4．
(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y²＝2px上，其中＝1，
∴p＝2，故抛物线方程为y²＝4x．
由方程组，得x²＋3x－4＝0，
解得x₁＝1，x₂＝－4，由于x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2．
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．