数列的前
项和为
,且
是
和
的等差中项,等差数列
满足
,
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,证明:
.
(1),
;(2)证明见解析.
解析试题分析:(1)由题中所给条件得,即
,这是前
项和
与项
的关系,我们可以利用
把此式转化为数列的项的递推式
,从而知数列
是等比数列,通项易得,这样等差数列的
,
,由基本量法可求得等差数列
的通项公式;(2)数列
是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得,其前
项和应该用裂项相消法求得,而当求得
后,所要证的不等式就显而易见成立了.
(1)∵是
和
的等差中项,∴
当时,
,∴
当时,
,∴
,即
∴数列是以
为首项,
为公比的等比数列,∴
,
设的公差为
,
,
,∴
∴
6分
(2)
∴
∵,∴
12分
考点:(1)已知数列前项和
与项
的关系,求通项公式,等差数列、等比数列通项公式;(2)裂项相消法求和与不等式。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[
+
],若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在无穷数列中,
,对于任意
,都有
,
. 设
, 记使得
成立的
的最大值为
.
(1)设数列为1,3,5,7,
,写出
,
,
的值;
(2)若为等比数列,且
,求
的值;
(3)若为等差数列,求出所有可能的数列
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
将数列按如图所示的规律排成一个三角形数表,并同时满足以下两个条件:①各行的第一
个数构成公差为
的等差数列;②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序都构成公比为
的等比数列.若
,
,
.
(1)求的值;
(2)求第行各数的和
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定正整数,若项数为
的数列
满足:对任意的
,均有
(其中
),则称数列
为“Γ数列”.
(1)判断数列和
是否是“Γ数列”,并说明理由;
(2)若为“Γ数列”,求证:
对
恒成立;
(3)设是公差为
的无穷项等差数列,若对任意的正整数
,
均构成“Γ数列”,求的公差
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是各项为不同的正数的等差数列,
成等差数列,又
.
(1)证明:为等比数列;
(2)如果数列前3项的和为
,求数列
的首项和公差;
(3)在(2)小题的前题下,令为数列
的前
项和,求
.
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