【题目】已知动点P(x,y)与一定点F(1,0)的距离和它到一定直线l:x=4的距离之比为 .
(1)求动点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)己知直线l':x=my+1交轨迹C于A、B两点,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足依次为点D、E.连接AE、BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出定点的坐标,并给予证明;否则说明理由.
【答案】
(1)解:由题意得 = ,
即2 =丨x﹣4丨,
两边平方得:4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16.整理得: .
∴动点P(x,y)的轨迹C的方程为椭圆
(2)解:当m变化时,直线AE、BD相交于一定点N( ,0).
证明:如图,
当m=0时,联立直线x=1与椭圆 ,
得A(1, )、B(1,﹣ )、D(4, )、E(4,﹣ ),
过A、B作直线x=4的垂线,得两垂足D(4, )、E(4,﹣ ),
由直线方程的两点式得:直线AE的方程为:2x+2y﹣5=0,直线BD的方程为:2x﹣2y﹣5=0,
方程联立解得x= ,y=0,
直线AE、BD相交于一点( ,0).
假设直线AE、BD相交于一定点N( ,0).
证明:设A(my1+1,y1),B(my2+1,y2),则D(4,y1),E(4,y2),
由 ,消去x,并整理得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
△=36m2﹣4×(3m2+4)×(﹣9)=144m2+144>0>0,
由韦达定理得y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ .
由 =(my1﹣ ,y1), =( ,y2),
则(my1﹣ )y2﹣ y1=my1y2﹣ (y1+y2)=m×(﹣ )﹣ ×(﹣ )=0
所以, ∥ ,所以A、N、E三点共线,
同理可证B、N、D三点共线,所以直线AE、BD相交于一定点N( ,0)
【解析】(1)直接利用求轨迹方程的步骤,由题意列出满足动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离和它到一定直线l:x=4的距离之比为 的等式,整理后即可得到点P的轨迹;(2)如果存在满足条件的定点N,则该点对于m=0的直线也成立,所以先取m=0,与椭圆联立后解出A、B的坐标,同时求出D、E的坐标,由两点式写出AE、BD所在的直线方程,两直线联立求出N的坐标,然后证明该点对于m取其它值时也满足直线AE、BD是相交于定点N,方法是用共线向量基本定理.
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【题目】设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求的值.
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【题目】已知函数在区间上有最大值4 和最小值1,设.
(1)求的值;
(2)若不等式在区间上有解,求实数的取值范围;
(3)若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
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【题目】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地米, 米,以为直径的半圆和半圆(半圆在矩形内部)为两个半圆形水上主题乐园, 都建有围墙,游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏,沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口,其中分别为上的动点, ,且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米,直线部门的平均修建费用为元/米.
(1)若米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米?
(2)试确定点的位置,使得修建费用最低.
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【题目】随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者中有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.
(1)若从10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求X的分布列和数学期望.
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【题目】设函数f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0). (Ⅰ)求证:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.
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【题目】已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是 .
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【题目】参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.
定价x(元/千克) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年销量y(千克) | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z=2 ln y | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
参考数据:
,
.
(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).
(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为
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【题目】已知椭圆的两焦点为,,离心率.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线:,若与此椭圆相交于,两点,且等于椭圆的短轴长,求的值;
(3)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,这样的直角三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
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