Question

18．（理）已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（2，\sqrt{2}）$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若${K_{AC}}•{K_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}$．
（i） 求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值；
（ii） 求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由${K_{AC}}•{K_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}$可得k与m的关系．
（i）由数量积的坐标运算把$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$化为含有k的代数式求得最值；
（ii）首先求出△AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）由题意$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，又a²=b²+c²，
解得：a²=8，b²=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．
△=（4m）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0…①
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}=-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=${k}^{2}•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+km•\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，得4k²+2=m²．
（i）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$．
∴-2=2-4$≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$．
当k=0（此时m²=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值为-2．
又直线AB的斜率不存在时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值为2；
（ii）设原点到直线AB的距离为d，则
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{|m|}{2}\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}=2\sqrt{2}$．
∴${S}_{四边形ABCD}=4{S}_{△AOB}=8\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属难题．