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2.已知函数f(x)=x3-3x,则函数h(x)=f[f(x)]-c,c∈[-2,2]的零点个数(  )
A.5或6个B.3或9个C.9或10个D.5或9个

分析 利用换元法设t=f(x),求函数的导数判断函数的单调性和极值,结合数形结合即可得到结论.

解答 解:设t=f(x),则由y=f[f(x)]-c=0,
得f[f(x)]=c,
即f(t)=c,t=f(x),
函数f(x)的导数f′(x)=3-3x2
由f′(x)>0得-1<x<1,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得x<-1或x>1,此时函数单调递减,
即函数在x=1,取得极大值f(1)=3-1=2,
函数在x=-1,取得极小值f(-1)=-3+1=-2,
又由f(-2)=-2,f(2)=2得:

若f(t)=c,c∈(-2,2),则方程有三个解,
满足-2<t1<-1,0<t2<1,1<t3<2,
则当-2<t1<-1时,方程t=f(x),有3个根,
当0<t2<1时,方程t=f(x),有3个根,
当1<t3<2时,方程t=f(x),有3个根,
此时共有9个根,
若f(t)=c,c=2,则方程有两个解,
满足t1=-2,t2=1,
则当t1=-2时,方程t=f(x),有2个根,
当t2=1,有3个根,
此时共有5个根,
同理f(t)=c,c=-2时,也共有5个根
故选:D

点评 本题主要考查函数方程的应用,利用换元法,结合数形结合是解决本题的关键.

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