Question

13．已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，连接AC、BD、PB、PC、PD，则下列各组向量中数量积不为0的是（　　）

• A． $\overrightarrow{PC}$和$\overrightarrow{BD}$
• B． $\overrightarrow{DA}$和$\overrightarrow{PB}$
• C． $\overrightarrow{PD}$与$\overrightarrow{AB}$
• D． $\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{AD}$

Answer 1

分析 可画出图形，根据线面垂直的判定定理及其性质便可判断出PC⊥BD，DA⊥PB，PD⊥AB，从而可以得出前三项的向量数量积为0，这便得出正确选项为D．

解答 解：如图，
PA⊥面ABCD，BD?面ABCD；
∴PA⊥BD，即BD⊥PA；
又BD⊥AC，PA∩AC=A；
∴BD⊥面PAC，PC?面PAC；
∴BD⊥PC；
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}=0$；
DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A；
∴DA⊥面PAB；
∴DA⊥PB；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{PB}=0$；
同理，AB⊥面PAD；
∴AB⊥PD；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AB}=0$；
BC∥AD；
∴∠PCB为PC与AD所成角；
根据前面，AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB；
∴BC⊥PB；
∴∠PCB为锐角；
即PC与AD不垂直，∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AD}≠0$．
故选：D．

点评 考查线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，异面直线所成角的概念，以及向量垂直的充要条件．