Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP＋k_OA＝k_PA.

(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA＝2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y＝x²(x≠0且x≠－1)（2）(1，1)

(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP＋k_OA＝k_PA得，
整理得轨迹C的方程为y＝x²(x≠0且x≠－1)．

(2)设P(x₁，)，Q(x₂，，M(x₀，y₀)，
由＝λ可知直线PQ∥OA，则k_PQ＝k_OA，故，即x₂＋x₁＝－1，
由O、M、P三点共线可知，＝(x₀，y₀)与＝(x₁，)共线，
∴x₀－x₁y₀＝0，由(1)知x₁≠0，故y₀＝x₀x₁，
同理，由＝(x₀＋1，y₀－1)与＝(x₂＋1，－1)共线可知(x₀＋1)(－1)－(x₂＋1)(y₀－1)＝0，即(x₂＋1)[(x₀＋1)·(x₂－1)－(y₀－1)]＝0，
由(1)知x₂≠－1，故(x₀＋1)(x₂－1)－(y₀－1)＝0，
将y₀＝x₀x₁，x₂＝－1－x₁代入上式得(x₀＋1)(－2－x₁)－(x₀x₁－1)＝0，
整理得－2x₀(x₁＋1)＝x₁＋1，由x₁≠－1得x₀＝－，由S_△PQA＝2S_△PAM，得到QA＝2AM，
∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴＝2，∴x₁＝1，∴P的坐标为(1，1)