对于数列{An}:A1.A2.A3.-.An.若不改变A1.仅改变A2.A3.-.An中部分项的符号.得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1.2.3.4.5的第二.三项的符号可以得到一个生成数列1.-2.-3.4.5．已知数列{an}为数列{12n}(n∈N*)的生成数列.Sn为数列{an}的前n项和．(1)写出S3的所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{

}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}的通项公式为an=

，n=3k+1

，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x=

2m-1

，m∈N*，m≤2n-1}．

（1）由已知，a₁=

，|a_n|=

（n∈N^*，n≥2），
∴a₂=±

，a₃=±

，
由于

，

∴S₃可能值为

，

．
（2）∵a_n=

，n=3k+1

，n≠3k+1

，k∈N
∴n=3k（k∈N^*）时，S_n=（

）+（

）+…+（

23k-2

23k-1

23k

）
=（

+…+

23k-2

）-（

+…+

23k-1

）-（

23k

）
=

[1-(

)k]

[1-(

)k]

[1-(

)k]

[1-(

)k]（

）
=

[1-(

)n]；
n=3k+1（k∈N）时，S_n=S_n-1+a_n=

[1-(

)n]+

[1+5(

)n]；
n=3k+2（k∈N）时，S_n=S_n+1-a_n+1=

[1-(

)n+1]+

2n+1

[1+3(

)n]；
∴S_n=

(1-

)，n=3k

(1+

)，n=3k+1

(1+

)，n=3k+2

(k∈N)．
（3）①n=1时，S₁=

，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即S_k所有可能值集合为：{x|x=

2m-1

，m∈N^*，m≤2^k-1}
由假设，S_k=

2m-1

（m∈N^*，m≤2^k-1），
则当n=k+1，S_k+1=

±…+

2k+1

=S_k±

2k+1

2k+1Sk±1

2k+1

，
又S_k+1=

2k+1Sk±1

2k+1

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1），
即S_k+1=

2×(2m-1)-1

2k+1

或S_k+1=

2×(2m)-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）
即S_k+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k）∴n=k+1时，命题成立．
由①②，n∈N^*，S_n所有可能值集合为{x|x=

2m-1

，m∈N^*，m≤2^n-1}．

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