Question

10．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且AB=AA₁，∠A₁AB=∠A₁AD=60°．
（Ⅰ）求证：平面A₁BD⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若BD=$\sqrt{2}{A_1}$D=2，求平面A₁BD与平面B₁BD所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出△A₁AB和△A₁AD均为正三角形，A₁O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁AC．
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁BD与平面B₁BD所成角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）因为AA₁=AB=AD，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
所以△A₁AB和△A₁AD均为正三角形，
于是A₁B=A₁D…（1分）
设AC与BD的交点为O，则A₁O⊥BD…（2分）
又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（3分）
而A₁O∩AC=O，所以BD⊥平面A₁AC…（4分）
而BD?平面A₁BD，故平面A₁BD⊥平面A₁AC…（5分）
解：（Ⅱ）由A₁B=A₁D及$BD=\sqrt{2}{A_1}D=2$，知A₁B⊥A₁D…（6分）
又由A₁D=AD，A₁B=AB，BD=BD，得△A₁BD≌△ABD，故∠BAD=90°…（7分）
于是$AO={A_1}O=\frac{1}{2}BD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}A{A_1}$，从而A₁O⊥AO，结合A₁O⊥BD
得A₁O⊥底面ABCD…（8分）
如图，以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），A₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{DB}=（0，2，0）$…（9分）
设平面B₁BD的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•BD=0\\ \overrightarrow n•B{B_1}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\-x+z=0\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow n=（1，0，1）$…（10分）
平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{CA}=（2，0，0）$，设平面A₁BD与平面B₁BD所成角为θ，
则$cosθ=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CA}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
解得θ=45°，
故平面A₁BD与平面B₁BD所成角的大小为45°．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．