Question

已知偶函数f（x）周期为2，且当x∈[0，1]时，f（x）=2x，如果在区间[-1，3]内，函数F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4个不同的零点，则k的取值范围是（　　）

• A．(-

  3

  4

  ，0)
• B．（-1，0）
• C．(-

  1

  2

  ，0)
• D．(-

  2

  3

  ，0)

Answer 1

分析：在同一坐标系内作出y=f（x）图象和动直线l：y=kx+k+2，观察直线l可得：当函数F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4个不同的零点时，直线l的活动范围应该在图中两条虚线之间，从而通过求直线斜率得到k取值范围．

解答：解：∵偶函数f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=2x，
∴当x∈[-1，0]时图象与x∈[0，1]时关于y轴对称，
故x∈[-1，0]时f（x）=-2x，
又∵f（x）是以2为周期的函数，
∴将函数f（x）在[-1，1]上的图象向左和向右平移2的整数倍个单位，可得f（x）在R上的图象．
∵直线l：y=kx+k+2经过定点（-1，2），斜率为k
∴直线l的图象是经过定点（-1，2）的动直线．（如右图）
在同一坐标系内作出y=f（x）和动直线l：y=kx+k+2，当它们有4个公共点时，函数F（x）=f（x）-kx-k-2（k∈R且k≠-2）有4个不同的零点，∴直线l的活动范围应该介于两条虚线之间，而两条虚线的斜率k₁=0，k₂=

2-0

-1-2

=-

2

3

，
故直线l的斜率k∈（-

2

3

，0）
故选D

点评：本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用，考查了函数的周期性、奇偶性和直线的斜率等知识点，属于中档题．