Question

（本小题满分16分）

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

（本小题满分16分）解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，

       得．

∵m＜3，∴m＝1． …… 2分

圆C：．

设直线PF₁的斜率为k，

则PF₁：，

即．

∵直线PF₁与圆C相切，

∴．

解得．   …………………… 4分

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．            …………………… 6分

2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

椭圆E的方程为：．                …………………… 8分2

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．           …………………… 10分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．     …………………… 12分

则的取值范围是[0，36]． ……… 14分

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．   …………………… 16分