Question

如图，已知长方体AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F
（1）求证：AC₁⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：
（1）证明：连接AC，则AC⊥DB，
∵AC是A₁C在平面ABCD内的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，
且A₁C在平面B₁C₁BC内的射影B₁C⊥BE
且BD∩BE=B，
∴A₁C⊥BE∴A₁C⊥平面EBD…（4分）
（2）解：∵AB平行于平面A₁B₁C，
所以点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离
因为BF⊥平面A₁B₁C
所以BF为所求距离，…（9分）
（3）解：连接DF，A₁D，
∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，
∴EF⊥平面A₁B₁C，
∴∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角
由条件AB=BC=1，BB₁=2
可知
∴
∴…..（14分）
解法二：如图建立空间直角坐标系．
（1）证明：B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0）
∴
∵，
∴，
∵BE∩DE=E
所以A₁C⊥平面EBD．…（4分）
（2）解：设平面A₁B₁C的一个法向量为m=（x，y，z）
则，
∴，
令z=1，得m=（0，2，1），
∵，
所以，所求的距离为…（9分）

（3）解：由（2）知，m=（0，2，1），
∵，
∴与m所成角为θ，
则
所以直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值为…．（14分）
分析：法一：（1）连接AC，则AC⊥DB，由AC是A₁C在平面ABCD内的射影，知A₁C⊥BD．因为A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，所以A₁C⊥BE．由此能够证明A₁C⊥平面EBD．
（2）由AB平行于平面A₁B₁C，所以点B到平面A₁B₁C的距离等于点A到平面A₁B₁C的距离，由BF⊥平面A₁B₁C，知BF为所求距离，由此能求出结果．
（3）连接DF，A₁D，由EF⊥B₁C，EF⊥A₁C，知EF⊥平面A₁B₁C，所以∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角．由条件AB=BC=1，BB₁=2，能求出直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．
法二：（1）分别以AB，AD，AA₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），由向量法能证明A₁C⊥平面EBD．
（2）设平面A₁B₁C的一个法向量为m=（x，y，z）则，所以m=（0，2，1），由此能求出点A到平面A₁B₁C的距离．
（3）由m=（0，2，1），，与m所成角为θ，由，能求出直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明、点到平面的距离和直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间思维能力，考查运算求证能力，考查化归转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．