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已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根且α为锐角,求t的值.
分析:由已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,结合韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),易得到一个两根之和及两根之积的表达式,结合α为锐角,易求出t的取值范围,再利用同角三角函数关系,可以构造一个关于t的方程,解方程即可求出t的值.
解答:解:由韦达定理得sinα+cosα=
2t+1
5
cosα•sinα=
t2+t
25
(4分)
∵α为锐角
∴sinα>0,cosα>0,
则2t+1>0且t2+t>0
得t>0(8分)
(2t+1)2
25
-2•
t2+t
25
=1

解之得:t=3或t=-4(舍去),
∴t=3(12分)
点评:本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系,及同角三角函数关系,其中利用韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),得到sinα+cosα=
2t+1
5
cosα•sinα=
t2+t
25
是解答本题的关键.
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