已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根且α为锐角,求t的值.
分析:由已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,结合韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),易得到一个两根之和及两根之积的表达式,结合α为锐角,易求出t的取值范围,再利用同角三角函数关系,可以构造一个关于t的方程,解方程即可求出t的值.
解答:解:由韦达定理得
sinα+cosα=,
cosα•sinα=(4分)
∵α为锐角
∴sinα>0,cosα>0,
则2t+1>0且t
2+t>0
得t>0(8分)
则
-2•=1解之得:t=3或t=-4(舍去),
∴t=3(12分)
点评:本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系,及同角三角函数关系,其中利用韦达定理(一元二次方程根与系数的关系),得到
sinα+cosα=,
cosα•sinα=是解答本题的关键.