Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(x)=

f(x) x＞0 -f(x) x＜0.

（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得a=1，b=2，所以f（x）=（x+1）²，F(x)=

(x+1)2 (x＞0) -(x+1)2 (x＜0)

由此能够求出F（2）+F（-2）的值．
（Ⅱ）由x²+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，知k＜x²+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，由此入手能够求出k的取值范围．
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，设方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系结合题设条件能够确定c-b的符号．

解答：解：（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且-

b

2a

=-1．
解得a=1，b=2，
∴f（x）=（x+1）²，∴F(x)=

(x+1)2 (x＞0) -(x+1)2 (x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即x²+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，
从而k＜x²+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，
令函数p（x）=x²+x+1，
则函数p（x）=x²+x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值p（x）_min=p（-1）=1，
∴k的取值范围为（-∞，1）
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，
∵a＞0∴b=-2a＜0，
设方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，则x1+x2=-

b

a

=2，x1x2=

c

a

，
∴m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x 2

=

4- 4c a

，
∵0＜m≤2，∴0＜

4- 4c a

≤2，∴0≤

c

a

＜1，
∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，
∴c-b＞0

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意隐含条件的合理运用．