【题目】已知函数的图象在
处的切线方程为
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:.(注:
,
是常数)
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据导数的几何意义可得,根据
可得
,对
求导后,分类讨论
可得函数
的单调性;
(2)代入,将所证不等式转化为证不等式
,利用(1)的结论得到
,进一步得到
,从而可得
,再构造函数
,利用导数可证
,最后根据不等式的传递性可证不等式
.
(1)因为,所以
.
因为,所以
,
所以.
所以,
,
当时,
,
在
上单调递减.
当时,令
,得
;令
,得
.
在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述:当时,
在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减
(2)证明:由题意,要证,即证
.
由(1)知,当时,
,所以
,即
,
由,两边同时取自然对数,可得
,
于是,即
,
所以,
因为和
不能同时取到,所以
,
故.
令,
则,
因为和
不能同时取到,故
.
因为,所以
,
所以原不等式成立.
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【题目】甲、乙两校各有3名教师报名支教,期中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
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【题目】直角坐标系中曲线的参数方程:
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,
点的极坐标
,在平面直角坐标系中,直线
经过点
,倾斜角为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的参数方程;
(2)设直线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】在直角坐标系中,已知点
,曲线
的参数方程为
(
为参数),点
是曲线
上的任意一点,点
为
的中点,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求点的轨迹
的极坐标方程;
(2)已知直线:
与曲线
交于点
,
,射线
逆时针旋转
交曲线
于点
,且
,求
.
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【题目】已知函数
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数的极值;
(2)设函数.当
=
时,若区间[1,e]上存在x0,使得
,求实数
的取值范围.(
为自然对数底数)
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【题目】某工厂对一批新产品的长度(单位:)进行检测,如下图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A.20,22.5B.22.5,25C.22.5,22.75D.22.75,22.75
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【题目】如图,在正三棱柱中,
,
,由顶点
沿棱柱侧面经过棱
到顶点
的最短路线与棱
的交点记为
,求:
(1)三棱柱的侧面展开科的对角线长;
(2)该最短路线的长及的值;
(3)平面与平面
所成二面角(锐角)的大小.
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【题目】设数列的首项为
,前
项和为
,若对任意的
,均有
(
是常数且
)成立,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”,求数列
的通项公式;
(2)是否存在数列既是“
数列”,也是“
数列”?若存在,求出符合条件的数列
的通项公式及对应的
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列为“
数列”,
,设
,证明:
.
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