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已知函数f(x)=( x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn,且对一切自然数n,均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1,求
lim
n→∞
S2n+1
S2n
的值.
分析:(Ⅰ)由题意知d2-(d-2)2=2d,解得d=2.所以an=2(n-1).再由
b3
b1
=q2
,知
f(q+1)
f(q-1)
=q2=
q2
(q-2)2
.由此能够导出bn=3n-1
(Ⅱ)由题设知
c1
b1
=a2
,c1=2.所以
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
+
cn
bn
=an+1
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
=an
,由此能够推导出S2n+1,S2n
解答:解:(Ⅰ)∵a3-a1=2d,∴f(d+1)-f(d-1)=2d.
即d2-(d-2)2=2d,解得d=2.
∴a1=f(2-1)=0.∴an=2(n-1).
b3
b1
=q2
,∴
f(q-1)
f(q+1)
=q2=
(q-2)2
q2

∵q≠0,q≠1,∴q=-2.
又b1=f(q+1)=4,∴bn=4•(-2)n-1
(Ⅱ)由题设知
c1
b1
=a2
,∴c1=a2b1=8.
当n≥2时,
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn-1
bn-1
=an

两式相减,得
cn
bn
=an+1-an=2

∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2).
∴S2n+1=c1+c2+c3+…+c2n+1=8+2(3+32+…+32n)=8+
32n+1-3
3 -1
=32n+1+5.
即S2n=32n+1+5-2×32n=32n+5.
lim
n→∞
S2n+1
S2n
=
lim
n→∞
32n+1+5
32n+5
=3
点评:本题考查数列的性质及其应用,解题时要注意公式的灵活运用,同时考查了数列的极限,属于中档题.
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π
4
)
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π
6
对称,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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