Question

7．证明不等式：1+$\frac{3}{5}$+$\frac{7}{9}$+…+$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$＜3．

Answer 1

分析 由$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}+{2}^{n-2}+…+1}{{3}^{n-1}+{3}^{n-2}•2+…+{2}^{n-1}}$，再证$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}+{2}^{n-2}+…+1}{{3}^{n-1}+{3}^{n-2}•2+…+{2}^{n-1}}$，
由3^n-1（2^n-1+2^n-2+…+1）-2^n-1（3^n-1+3^n-2•2+…+2^n-1）
=（3^n-1•2^n-2-2^n-1•3^n-2•2）+…+（3^n-1-4^n-1）
=3^n-2•2^n-2（3-4）+…+（3^n-1-4^n-1）≤0，
当n=1取得等号，
即有$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$，
则1+$\frac{3}{5}$+$\frac{7}{9}$+…+$\frac{2^n-1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$＜1+$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=3-3•$（\frac{2}{3}）^{n}$＜3．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法证明不等式的方法，以及等比数列的求和公式和不等式的性质，属于中档题．