【题目】已知函数
(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1
①若函数G(x)有两相异零点且在
上是减函数,求实数m的取值范围。
②是否存在整数a,b使得的解集恰好为
若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由。
【答案】(1)详见解析;(2)①(﹣∞,0]∪[2,+∞);②或
.
【解析】
(1)判断对应方程的△与0的关系,易得结论;
(2)由函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m,我们易给出函数G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,①若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,根据对折变换函数图象的特征,我们分△≤0和△>0两种情况进行讨论,可得到满足条件的m的取值范围;②若a≤G(x)≤b的解集恰好是[a,b],则将a,b代入消去m,可以求出a,b的值.
证明:(1)f(x)﹣g(x)=﹣x2+(m﹣2)x+3﹣m.
令f(x)﹣g(x)=0.
则△=(m﹣2)2﹣4(m﹣3)=m2﹣8m+16=(m﹣4)2≥0恒成立.
所以方程f(x)﹣g(x)=0有解.
所以函数f(x)﹣g(x)必有零点.
(2)①G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m.
①令G(x)=0,△=(m﹣2)2﹣4(m﹣2)=(m﹣2)(m﹣6).
当△≤0,即2≤m≤6时,G(x)=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m≤0恒成立,
所以|G(x)|=x2﹣(m﹣2)x+m﹣2.
因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,所以0.解得m≥2.
所以2≤m≤6.
当△>0,即m<2或m>6时,|G(x)|=|x2﹣(m﹣2)x+m﹣2|.
因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,
所以方程x2﹣(m﹣2)x+m﹣2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x1.
所以或
解得m>2或m≤0.
所以m≤0或m>6.
综上可得,实数m的取值范围为(﹣∞,0]∪[2,+∞).
②因为a≤G(x)≤b的解集恰好是[a,b],
所以
由
消去m,得ab﹣2a﹣b=0,显然b≠2.
所以a1
.
因为a,b均为整数,所以b﹣2=±1或b﹣2=±2.
解得或
或
或
因为a<b,且a
b
所以或
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【题目】已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同直线
的极坐标方程为
,曲线C的参数方程为
为参数
,设直线l与曲线C交于A,B两点.
写出直线
的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
已知点P在曲线C上运动,求点P到直线
距离的最大值.
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【题目】已知椭圆C:的焦距为2,左右焦点分别为
,
,以原点O为圆心,以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线
相切.
Ⅰ
求椭圆C的方程;
Ⅱ
设不过原点的直线l:
与椭圆C交于A,B两点.
若直线
与
的斜率分别为
,
,且
,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;
若直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,求
面积的取值范围.
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【题目】如图,椭圆
的左右焦点分别为的
、
,离心率为
;过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
、
两点,当
时,
点在
轴上的射影为
。连结
并延长分别交
于
、
两点,连接
;
与
的面积分别记为
,
,设
.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线
的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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【题目】已知某几何体直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(1)求证:
;
(2);
(3)设为
中点,在
边上找一点
,使
//平面
并求
.
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【题目】某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度,从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查,结果可以分成以下三类:支持、反对、无所谓,调查结果统计如下:
(1)(i)求出表中的的值;
(ii)从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况,求恰好高一、高二各1人的概率;
(2)根据表格统计的数据,完成下面的的列联表,并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关.(不支持包括无所谓和反对)
附:,其中
.
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【题目】有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
抽取人数 | 6 |
(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
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