Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）求的最小值及取得最小值时的取值范围；

（Ⅱ）若集合，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】试题分析: （Ⅰ）利用绝对值三角不等式,求得的最小值,以及取得最小值时x的取值范围; （Ⅱ）当集合,函数恒成立,即的图象恒位于直线的上方,数形结合求得a的取值范围.

试题解析:解：（Ⅰ）∵ 函数，

当且仅当，即时

函数的最小值为．

（Ⅱ）函数

而函数表示过点，斜率为的一条直线，

如图所示：当直线过点时， ，∴，

当直线过点时， ，∴，

故当集合，函数恒成立，

即的图象恒位于直线的上方，

数形结合可得要求的的范围为．

点睛: 两数和差的绝对值的性质: ,特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质，应用此式来求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件.恒成立问题的解决方法:(1)f(x)<m恒成立，须有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为，即不等式无解．