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已知函数f(x)=ax-x2-lnx在(1,+∞)上是减函数,求g(x)=e2x-aex-1在[ln
1
3
,0]上的最小值.
考点:利用导数研究函数的单调性
专题:计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:求出f(x)的导函数,据导函数的符号与函数单调性的关系,令导函数小于等于0恒成立,分离出a,利用函数的单调性求出函数的最小值,令a小于等于最小值即可得到a的范围.通过换元将函数g(x)转化为二次函数,通过对对称轴与定义域位置关系的讨论,分情况求出函数的最小值.
解答: 解:由于函数f(x)=ax-x2-lnx,导数f′(x)=a-2x-
1
x

∵f(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴a-2x-
1
x
≤0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤2x+
1
x
恒成立,
∴只需a≤(2x+
1
x
min即可.
由于(2x+
1
x
)′=2-
1
x2
>0,则(1,+∞)为增区间,则有a≤3.
再设ex=t,∵x∈[ln
1
3
,0],则t∈[
1
3
,1].
设h(t)=t2-at-1=(t-
a
2
2-(1+
a2
4
),
其对称轴t=
a
2
,由a≤3,则t=
a
2
3
2

则当
a
2
1
3
时,[
1
3
,1]为增区间,g(x)的最小值为h(
1
3
)=-
8
9
-
1
3
a;
当1≤
a
2
3
2
时,[
1
3
,1]为减区间,g(x)的最小值为h(1)=-a;
1
3
a
2
<1时,g(x)的最小值为h(
a
2
)=-(1+
a2
4
).
则g(x)的最小值为h(a)=
-
8
9
-
1
3
a,a≤
2
3
-1-
a2
4
2
3
<a<2
-a,2≤a≤3
点评:解决函数的单调性已知求参数的范围问题,常求出导函数,令导函数大于等于(或小于等于)0恒成立;解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值;通过换元法解题时,一定注意新变量的范围.
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2sinx-1
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A、
π
2
B、
π
4
C、
π
6
D、
π
3

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