考点:利用导数研究函数的单调性
专题:计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:求出f(x)的导函数,据导函数的符号与函数单调性的关系,令导函数小于等于0恒成立,分离出a,利用函数的单调性求出函数的最小值,令a小于等于最小值即可得到a的范围.通过换元将函数g(x)转化为二次函数,通过对对称轴与定义域位置关系的讨论,分情况求出函数的最小值.
解答:
解:由于函数f(x)=ax-x
2-lnx,导数f′(x)=a-2x-
,
∵f(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴a-2x-
≤0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤2x+
恒成立,
∴只需a≤(2x+
)
min即可.
由于(2x+
)′=2-
>0,则(1,+∞)为增区间,则有a≤3.
再设e
x=t,∵x∈[ln
,0],则t∈[
,1].
设h(t)=t
2-at-1=(t-
)
2-(1
+),
其对称轴t=
,由a≤3,则t=
≤
,
则当
≤时,[
,1]为增区间,g(x)的最小值为h(
)=-
-
a;
当1≤
≤时,[
,1]为减区间,g(x)的最小值为h(1)=-a;
当
<
<1时,g(x)的最小值为h(
)=-(1
+).
则g(x)的最小值为h(a)=
点评:解决函数的单调性已知求参数的范围问题,常求出导函数,令导函数大于等于(或小于等于)0恒成立;解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值;通过换元法解题时,一定注意新变量的范围.