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15.如图1,平面五边形ABCDE中,△ABE是边长为2的正三角形,△BCE、△CDE均为等腰直角三角形,且∠BCE和∠CDE为直角,现将△ABE、△CDE分别沿BE、CE折起,使平面ABE⊥平面BCE,平面DCE⊥平面BCE,如图2所示.
(1)求三棱锥C-BDE的体积;
(2)问:在BE上是否存在点F,使得平面DCF⊥平面ABE?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.

分析 (1)取CE中点M,则DM⊥平面BCE,根据平面几何知识求出△BCE面积和DM的长,代入体积公式计算;
(2)根据面面垂直的性质可知F为BE中点.

解答 解:(1)∵AB=2,△BCE、△CDE均为等腰直角三角形,∠BCE=∠CDE=90°,
∴BC=CE=$\sqrt{2}$,CD=DE=1,
取CE中点M,连结DM,则DM⊥CE,DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵平面DCE⊥平面BCE,平面DCE∩平面BCE=CE,DM?平面DCE,
∴DM⊥平面BCE,
∴V棱锥C-BDE=V棱锥D-BCE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×CE×DM$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$.
(2)取BE中点F,∵BC=CE,∴CF⊥BE,
∵平面ABE⊥平面BCE,平面ABE∩平面BCE=BE,CF?平面DCE,
∴CF⊥平面ABE,∵CF?平面DCF,
∴平面DCF⊥平面ABE.
∴F为BE中点.

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定,面面垂直的性质,几何体体积计算,构造棱锥的高是关键.

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