Question

函数f（x）=|sinπx-cosπx|对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．2
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先将函数写出分段函数，再确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，数形结合可得结论．

解答：解：由题意，f（x）=|sinπx-cosπx|=|

2

（

2

2

sinπx-

2

2

cosπx）|=

2

|sin（πx-

π

4

）|，
它的周期为

1

2

×

2π

π

=1，最大值为

2

，最小值为0，f（x）的图象如图所示：
∵对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，所以f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值．
|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
结合图形可得，当x=

1

4

时，函数取得最小值0，x=

3

4

时，函数取得最大值为

2

，
且此时|x₂-x₁|取得最小值为 

3

4

-

1

4

=

1

2

，
故选 D．

点评：本题考查绝对值函数，考查三角函数的性质，确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，
属于中档题．