Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}满足，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_n=n．
由，
则（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=，（n≥2）
两式相减得：，n≥2．
即数列{b_n}的前n项和，n≥2．
当n=1时，b₁=S₁=1，所以．
当n≥2时，．
所以．（7分）

（Ⅱ）因为c_n=-a_nb_n，所以．
当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，
设=．
令，则，
两式相减得：=，
所以．
因此T_n==，n≥2．（13分）
又n=1时，T₁=-1也满足上式，故T_n=．
分析：（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，得到a_n+1-a_n=1，再由等差数列的定义求解；
由，右边先用等比数列前n项和整理，这样符合一个等差数列与一个等比数列相应积的形式，用错位相减法求解
（Ⅱ根据c_n=-a_nb_n，再由（I）求得：，当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，符合一个等差数列与等比数列相应积的形式，用错位相减法求解．
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项及前n项和以及用等差数列和等比数列构造特殊数列问题，作为数列是研究规律一类知识，所以建模意识要强，要转化为特定的数列去解决问题．