Question

如图，在长方体AC₁中，AB=BC=2，AA1=

2

，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的长方体，以D为坐标原点DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出对应的向量的坐标，根据两个向量的数量积为0，得到夹角．
（2）根据上一问做出的坐标系和点的坐标，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，得到一个法向量．

解答：解：（1）如图，以D为坐标原点DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则：A（2，0，0），F（1，2，

2

2

）
B（2，2，0），E（1，1，

2

），C（0，2，0）
∴

AF

=(-1，2，

2

2

)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
∴

AF

•

BE

=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角为90°，
（2）设平面BEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，又

BC

=(-2，0，0)，

BE

=(-1，-1，

2

)，
则：

n

•

BC

=-2x=0

n

•

BE

=-x-y+

2

z=0
∴x=0，令z=1，则：y=

2

∴

n

=(0，

2

，1)
∴cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF |•| n |

=

5 2 2

22 2 × 3

=

5 33

33

设直线AF和平面BEC所成角为θ则：Sinθ=

5 33

33

∴cosθ=

2 66

33

即直线AF和平面BEC所成角的余弦值为

2 66

33

点评：本题考查两条异面直线所成的角和线面角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导变成了数字的运算，从而降低了题目的难度．