Question

【题目】已知，设实数、、、、、满足

（i）、、且不全为0；

（ii）、、；

（iii）若，则.

若所有形如和的数均不为2014的倍数，则称集合为“好集”.求好集所含元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】503

【解析】

（1）构造一个503元好集.

设.

若、、均不为0，则

.

于是，为奇数，一定不为2014的倍数.

若、、中有0，不妨设，则由条件（i）知、中至少有一个不为0.

由条件（iii）知.

注意到，.

故一定不为2014的倍数.

显然，为奇数，一定不为2014的倍数.

则为503元好集.

（2）设为好集.下面证明：.

设的最小元素为.则集合中任意两元素的差不为.否则，设、，，得为2014的倍数，矛盾.

将中大于的元素从大到小每个分为一组，设可分成组，余下的个数为，，…，.

显然，，组中的每一组至多有个数在集合中.

由好集的定义，知2014、，且与不同在集合中.

不妨设，否则，只需将集合中大于1007的元素换成.

事实上，若中有某个，则将其中的变为，将变为后得到的数与模2014相同.

下面对分情形讨论.

1）若，则，，…，中至多有个数属于集合.

故

.

2）若，则.

从而，任意一个好集必满足.

由（1）、（2），知好集所含元素个数的最大值为503.