Question

20．设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（1）求a_n；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$，设数列{b_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列和等比数列的性质求出等差数列的公差d=1，由此能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+3×{2}^{n}+3}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，利用裂项求和法能证明数列{b_n}的前n项和T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列，
∴（1+5d）²=（1+2d）（1+11d），且d＞0，
解得d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+3×{2}^{n}+3}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$
=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n-1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+…+$$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．