Question

（14分）已知函数，其中a为实数。
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围。
（3）证明，对于任意的正整数m，n，不等式恒成立。

Answer 1

（1）当时，在上递减，在上递增
当时，在，上递增，在上递减
当时，在上递增
当时，在，上递增，上递减；
（2）；
（3）见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为函数，故,然手对于参数a进行分类讨论得到单调性。
（2）由（1）知当时
当时，不恒成立
（3）由（2）知时，恒成立

当且仅当时以“=”
然后分析得到。
解：（1）
当时，在上递减，在上递增
当时，在，上递增，在上递减
当时，在上递增
当时，在，上递增，上递减          ……（5分）
（2）由（1）知当时
当时，不恒成立
综上：                                                   ……（9分）
（3）由（2）知时，恒成立

当且仅当时以“=”
时，


……

……(14分)