Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析：（1）f（-1）=0?a-b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0?4a-b²=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；
（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．
（3）f（x）为偶函数?对称轴为0?b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）-f（n）=a（m²-n²）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0
且由y=a(x+

b

2a

)2+

4a-b2

4a

知

4a-b2

4a

=0即4a-b²=0②
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．
∴F(x)=

(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)

（5分）
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

2

)2+1-

(2-k)2

4

，（7分）
当

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2时，
即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函数
∴f（x）=ax²+1，∴F(x)=

ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)

，（11分）
∵m＞0，n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）

点评：本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．