精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD.
(1)求直线FD与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求点D到平面BCF的距离;
(3)求二面角B-FC-D的大小.

解:(1)∵平面ABFE⊥平面ABCD,∠EAB=90°,
即EA⊥AB,而平面ABFE∩平面ABCD=AB,
∴EA⊥平面ABCD.作FH∥EA交AB于H,则FH⊥平面ABCD.
连接DH,则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角.
在Rt△FHD中,∵FH=EA=1,DH=

(2)∵平面ABFE⊥平面ABCD,EA⊥AB,
∴EA⊥平面ABCD.
分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、
F(0,1,1),

,∴⊥平面BCF,
=(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

∴点D到平面BCF的距离为
(3)∵,设为平面CDEF的一个法向量,则令x=1,得z=1,

又(1)知,为平面BCF的一个法向量,
∵<>=
且二面角B-FC-D的平面角为钝角,
∴二面角B-FC-D的大小为120°.

分析:(1)根据面与面垂直的性质定理.得到线与面垂直,有面的垂线后面再做线与面的角,就好做了,得到线面角,在一个可解的三角形中,求出线面角的正切值.
(2)结合图形建立坐标系,写出要用的点的坐标,做出面的法向量,和要用的直线的对应的向量,根据点到直线的距离公式得到结果.
(3)在图形中的坐标系的基础上,写出要用的两个平面的法向量,求出法向量的坐标,其中有一个平面的法向量不用求出,是图形中存在的一个向量,求出两个平面所成的角.
点评:本题是一个立体几何的综合题目,考查的几个大的知识点,解题时要注意求线面角时注意用向量所求的是线面角的正弦值,不要出错.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在多面体ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1
.
BB1AB=AC=AA1=
2
2
BC,B1C1
.
1
2
BC

(1)求证:A1B1⊥平面AA1C;
(2)求证:AB1∥平面A1C1C;
(3)求二面角C1-A1C-A的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB
B1C1
.
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(Ⅰ)求证:AB1∥平面 A1C1C;
(Ⅱ)求BC与平面A1C1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•青岛二模)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=
12
BC.
(Ⅰ)求证:面A1AC⊥面ABC;
(Ⅱ)求证:AB1∥面A1C1C.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•合肥一模)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1⊥平面ABC,AA1∥=BB1,AB=AC=AA1=
2
2
BC
,B1C1∥=
1
2
BC

(1)求证:A1B1⊥平面AA1C;
(2)若D是BC的中点,求证:B1D∥平面A1C1C;
(3)若BC=2,求几何体ABC-A1B1C1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•郑州二模)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB,B1C1
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(I)求证:A1B1⊥平面AA1C; 
(II)求证:AB1∥平面 A1C1C;
(II)求BC与平面A1C1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案