Question

已知函数f（x）=1-|2x-a|，a∈R．
（I）当a=5时，求不等式f（x）≥3x-2的解集．
（II）求证：函数f（x）=1-|2x-a|的最大值恒为定值．

Answer 1

分析：（I）当a=5时，不等式f（x）≥3x-2可化为|2x-5|≤-3x+3，利用绝对值的几何意义化简，即可求不等式f（x）≥3x-2的解集．
（II）利用绝对值的几何意义化简函数，可得分段函数，利用函数的单调性，即可得到函数f（x）=1-|2x-a|的最大值恒为定值．

解答：（I）解：当a=5时，不等式f（x）≥3x-2可化为|2x-5|≤-3x+3
∴3x-3≤2x-5≤-3x+3
∴3x+2≤2x≤-3x+8
∴x≤-2且x≤

8

5

∴x≤-2
∴不等式f（x）≥3x-2的解集为{x|x≤-2}．
（II）证明：f（x）=1-|2x-a|=

2x-a+1，x≤ a 2 -2x+a+1，x＞ a 2

∴x≤

a

2

时，函数f（x）为增函数；x＞

a

2

时，函数f（x）为减函数
∴[f（x）]_max=f（

a

2

）=1
∴函数f（x）=1-|2x-a|的最大值恒为定值．

点评：本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查函数的单调性与最值，属于中档题．