Question

5．已知数列{α_m}满足0＜a₁＜2，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*．
（1）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值．
（2）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有符合题意的a₁的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把a₂，a₃表示为a₁的式子，通过对a₁的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于a₁的方程，解出即可．
（2）假设这样的等差数列存在，则a₁，a₂，a₃成等差数列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|，由0＜a₁≤2能求出所有符合题意的a₁的值．

解答 解：（1）∵数列{α_m}满足0＜a₁＜2，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*，
∴a₂=2-a₁，a₃=2-|2-a₁|=a₁，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴（2-a₁）²=${{a}_{1}}^{2}$，
解得a₁=1．
（2）假设这样的等差数列存在，则
由2a₂=a₁+a₃，得2（2-a₁）=a₁+（2-|2-a₁|），即|2-a₁|=3a₁-2．
∵0＜a₁≤2，∴2-a₁=3a₁-2，解得a₁=1，
从而a_n=1（n∈N^*），此时{a_n}是一个等差数列；
综上可知，当且仅当a₁=1时，数列{a_n}为等差数列．

点评 本题考查数列的首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．