Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在区间（a-1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数f（x）的定义域为R，再可判断f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）；从而判断．
（2）易知函数f（x）在R上单调递增，从而化函数f（x）在区间（a-1，a+1）上存在零点为

a-1＜0 a+1＞0

，从而解得．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）；
则函数f（x）为奇函数．
（2）易知函数f（x）在R上单调递增，
∵函数f（x）在区间（a-1，a+1）上存在零点，
∴

a-1＜0 a+1＞0

，
解得-1＜a＜1；
故实数a的取值范围为（-1，1）．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．