Question

已知复数z满足|z|=

2

，z²的虚部为2，
（1）求复数z及复数z对应的向量

OZ

与x轴正方向在[0，2π）内所成角．
（2）设z、z²、z-z²在复平面内的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）令z=x+yi，根据|z|=

2

，z²的虚部为2建立方程求出复数z，由其位置判断出复数z对应的向量

OZ

与x轴正方向在[0，2π）内所成角
（2）由（1）求出z、z²、z-z²，在复平面内找出对就的点的坐标，求出三角形的面积

解答：解：（1）令z=x+yi∴

x2+y2=2 2xy=2

∴

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∴z=1+i，或z=-1-i
当z=1+i时，复数z对应的向量

OZ

与x轴正方向在[0，2π）内所成角θ=45°，
当z=-1-i时，复数z对应的向量

OZ

与x轴正方向在[0，2π）内所成角θ=225°
故复数z对应的向量

OZ

与x轴正方向在[0，2π）内所成角为45°或225°．
（2）当z=1+i时，z²=2i，z-z²=1-i，z、z²、z-z²在复平面内的对应点分别为A（1，1）、B（0，2）、C（1，-1），
故|AC|=2，点B到直线AC的距离是1，所以S_△ABC=1，
同理当z=-1-i时，S_△ABC=1，
∴S_△ABC=1

点评：本题考查三角形中的几何计算及复数的运算，解题的关键是熟练掌握复数的运算及复数的几何意义，再由题设中的条件求解，求面积，本题涉及到三角计算，得数的运算，向量的夹角，综合性强，转化灵活，解题时要严谨．