Question

6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分别为B₁C₁，AA₁的中点
（1）求证：AB⊥平面AA₁C₁C
（2）判断MN与平面ABC₁的位置关系，求四面体ABC₁M的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥ACAA₁⊥AB，由此能证明AB⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中点D，推导出平面MND∥平面ABC₁，从而MN∥平面ABC₁，过N作NH⊥AC₁于H，M到平面ABC₁的距离为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此能求出四面体ABC₁M的体积．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，
AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AA₁⊥AB，
∵AC∩AA₁=A，∴AB⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）MN∥平面ABC₁．
取BB₁中点D，
∵M，N分别为B₁C₁，AA₁的中点，
∴MD∥BC₁，
又四边形ABB₁A₁为平行四边形，∴DN∥AB，
∵MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC₁，
∴MN∥平面ABC₁，
∴N到平面ABC₁的距离即为M到平面ABC₁的距离，
过N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∴NH⊥平面ABC₁，
∴NH=$\frac{1}{2}×\frac{A{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{2×\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴M到平面ABC₁的距离为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴四面体ABC₁M的体积${V}_{四面体AB{C}_{1}M}$=${V}_{M-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．