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设函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=x2-x,记h(x)=f(x)+g(x).
(1)h′(x)为h(x)的导函数,判断函数y=h′(x)的单调性,并加以证明;
(2)若函数y=|h(x)-a|-1=0有两个零点,求实数a的取值范围.
分析:(1)由函数y=h(x)求出它的导函数h′(x),令F(x)=h'(x),可根据其导函数的正负,即可得到函数单调区间即可.
(2)由(1)知h'(x)在(-∞,+∞)上单调递增,由导数法,可得h(x)的单调性,根据函数y=|h(x)-a|-1有两个零点,从而有方程|h(x)-a|-1=0有两个根,即方程h(x)=a±1有两个根,利用函数h(x)的最小值建立关于a的不等关系,即可得实数a的取值范围.
解答:解:(1)h(x)=f(x)+g(x)=ex+x2-x,∴h'(x)=ex+2x-1,
令F(x)=h'(x),则F'(x)=ex+2>0,
∴F(x)在(-∞,+∞)上单调递增,即h'(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知h'(x)在(-∞,+∞)上单调递增,而h'(0)=0,
∴h'(x)=0有唯一解x=0,x,h'(x),h(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,0) 0 (0,+∞)
h'(x) - 0 +
h(x) 递减 极小值 递增
又∵函数y=|h(x)-a|-1有两个零点,
∴方程|h(x)-a|-1=0有两个根,即方程h(x)=a±1有两个根
而a+1>a-1,∴a-1<(h(x))min=h(0)=1且a+1>(h(x))min=h(0)=1,
解得0<a<2.
所以,若函数y=|h(x)-a|-1有两个零点,实数a的取值范围是(0,2)
点评:考查学生利用导数研究函数的性质能力,函数单调性的判定,根的存在性及根的个数判断,其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键.
练习册系列答案
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设函数f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
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