Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，已知{S_n}是各项为正数且公比为q的等比数列，试比较

an+an+2

2

与an+1的大小．

Answer 1

分析：由已知根据等比数列通项公式，求出Sn的表达式，再利用数列中a_n与 Sn关系求出a_n，用作差法进行大小比较．

解答：解：由已知，s_n=q^{n-1，当n=1时}，a₁=1，当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=q^n-1-q^n-2=q^n-2（q-1）．
（1）n=1时，

a1+a3

2

-a2=

1+(q2-q)

2

-（q-1）=

q2-3q+3

2

=

1

2

(q-

3

2

)2+

3

8

＞0，即

a1+a3

2

＞a2
（2）n≥2时，

an+an+2

2

-an+1=

qn-2(q-1)+qn(q-1)

2

-qn-1(q-1)=

1

2

(q-1)qn-2 (q-1)2=
=

1

2

qn-2(q-1)3
∵q^n-2＞0
∴当q=1时，

an+an+2

2

=an+1；
当q＞1时，

an+an+2

2

＞an+1；
当0＜q＜1时，

an+an+2

2

＜an+1；

点评：本题考查等比数列通项公式、利用a_n，与Sn关系求通项、作差法比较大小、分类讨论的思想．本题要注意对n，q进行分类讨论．