Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，准线方程为x=±

4 3

3

，点P(

3

，y0)在椭圆C上且|PF|=

1

2

．
（I）求椭圆C的方程； 
（II）已知圆O：x²+y²=1的一条切线与椭圆C相交于A、B两点，且切线AB与圆D的切点Q在y轴右侧，求△AQF周长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出了椭圆的准线方程，则有

a2

c

=

4 3

3

，给出了点P的横坐标可求点P到右准线的距离，又给出了点P到右焦点的距离，则可得到椭圆的离心率，由准线方程和离心率的值联立可求a、b、c，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出圆的切线与椭圆的一个交点A，在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原点距离与圆的半径表示，结合点A在椭圆上把
|AQ|化简，由焦半径公式表示出|AF|，可求得|AQ|+|AF|为定值，要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，显然当Q是圆与x轴的交点时|QF|最小，则最小值可求．

解答：解：（Ⅰ）由准线方程得

a2

c

=

4 3

3

①，因为点P的横坐标为

3

，所以点P到右准线的距离为

4 3

3

-

3

=

3

3

，
又P点到右焦点的距离|PF|=

1

2

，所以

c

a

=

1 2

3 3

=

3

2

②，联立①②得，a=2，c=

3

，又b²=a²-c²，∴b=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）如图，

设点A（x₀，y₀），则|AQ|=

|AO|2-1

=

x02+y02-1

，
又由于点A在椭圆上，则

x02

4

+y02=1，所以x02+y02-1=

3

4

x02，
所以|AQ|=

3 4 x02

=

3

2

x0  （x₀＞0，因为切点Q在y轴右侧），
令由焦半径公式可得|AF|=2-

3

2

x0，
于是|AQ|+|AF|=

3

2

x0+2-

3

2

x0=2．
要使△AQF的周长最小，则只要|QF|最小即可，
显然当Q的坐标为（1，0）时，|QF|最短，为

3

-1．
所以，△AQF周长的最小值为2+

3

-1=

3

+1．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的关系，采用了设而不求的方法，运用了整体运算思想，求三角形面积最小值时运用了数学转化思想，题目综合考查了学生综合思维能力和灵活计算能力，属难题．