Question

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列{

an

n+1

}的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

分析：先根据题意求出y′即为切线的斜率，把x=2代入求得对应的y值，写出切线方程，求出x=0时y的值即可得到a_n的通项公式，即可得到数列{

an

n+1

}的通项公式，然后利用等比数列的求和公式得到s_n

解答：解：y′=-（n+2）2^n-1，
把x=2代入到曲线y=xⁿ（1-x）中得到y=-2ⁿ，
所以切线方程为y+2ⁿ=-（n+2）2^n-1（x-2）
令x=0，解得交点的纵坐标为a_n=（n+1）2ⁿ，
则数列b_n=

an

n+1

=2ⁿ，
所以数列{

an

n+1

}的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2n+1 -2
故答案为2ⁿ⁺¹-2

点评：考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力．