【题目】如图,四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,为的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)设二面角为60°,=1,=,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)证明线面平行,根据判定定理就是要证线线平行,而平行线的寻找,又是根据线面平行的性质定理找到,设与交点为,过的平面与平面的交线就是,这就是要找的平行线,由中位线定理易证;(2)要求三棱锥的体积,关键是求得底面三角形的面积(高为到底面的距离,即为的一半),已知条件是二面角大小为,为此可以为轴建立空间直角坐标系,设 ,写出各点坐标,求得平面和平面的法向量,由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得,从而可求得底面积,体积.
试题解析:(1)证明:连,设,连,
∵是的中点,∴,
∵平面,平面,
∴平面;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则
.
设 .则.
设为平面的法向量,则
取.
又为平面的一个法向量,
∴,∴.
因为为的中点,所以三棱锥的高为,
∴.
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【题目】已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.
(1)已知平面内点,点.把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点,求点的坐标;
(2)设平面内曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线,求原来曲线的方程,并求曲线上的点到原点距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市,随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的2×2列联表,已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为.
(I)根据已知条件完成2×2列联表,并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
2×2列联表:
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 120 | ||
不使用手机支付 | 48 | ||
合计 | 200 |
(Ⅱ)现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本,再从中随机抽取3人,求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】将参加夏令营的400名学生编号为:001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且随机抽得的号码为003,这400名学生分住在三个营区,从001到180在第一营区,从181到295在第二营区,从296到400在第三营区,三个营区被抽中的人数分别为( )
A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.△ABF2的周长为,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.
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