【题目】已知不等式的解集为(1,t),记函数.
(1)求证:函数y=f(x)必有两个不同的零点;
(2)若函数y=f(x)的两个零点分别为,,试将表示成以为自变量的函数,并求的取值范围;
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先根据不等式的解集为(1,t)证明,对于函数,由,可得必有两个不同零点;(2)化简等于,由不等式的解集为,可得有,化简,利用二次函数的性质可得的范围,从而求得的取值范围.
(1)由题意知a+b+c=0,且- >1,a<0且 >1,
∴ac>0,
∴对于函数f(x)=ax 2 +(a-b)x-c有Δ=(a-b) 2 +4ac>0,
∴函数y=f(x)必有两个不同零点.
(2)|m-n| 2 =(m+n) 2 -4mn=,
,
由不等式ax 2 +bx+c>0的解集为(1,t)可知,
方程ax 2 +bx+c=0的两个解分别为1和t(t>1),
由根与系数的关系知 =t,
∴,t∈(1,+∞).
∴|m-n|> ,∴|m-n|的取值范围为( ,+∞).
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【题目】设函数y=f(x)由方程x|x|+y|y|=1确定,下列结论正确的是(请将你认为正确的序号都填上)
·(1)f(x)是R上的单调递减函数;
·(2)对于任意x∈R,f(x)+x>0恒成立;
·(3)对于任意a∈R,关于x的方程f(x)=a都有解;
·(4)f(x)存在反函数f﹣1(x),且对于任意x∈R,总有f(x)=f﹣1(x)成立.
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【题目】(本小题共13分)
如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC,AB=,CE=EF=1
(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF;
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【题目】三角形ABC中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinB+sin(A﹣C)=2sin2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b= ,求△ABC的面积.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,平面底面,为的中点, 是棱的中点, ,.
(1)求证:平面BDM; (2)D到面PBC距离;
(3)求三棱锥的体积.
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【题目】若样本的平均数是,方差是,则对样本,下列结论正确的是 ( )
A. 平均数为14,方差为5 B. 平均数为13,方差为25
C. 平均数为13,方差为5 D. 平均数为14,方差为2
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【题目】在钝角△ABC中,∠A为钝角,令 = , = ,若 =x +y (x,y∈R).现给出下面结论:
①当x= 时,点D是△ABC的重心;
②记△ABD,△ACD的面积分别为S△ABD , S△ACD , 当x= 时, ;
③若点D在△ABC内部(不含边界),则 的取值范围是 ;
④若 =λ ,其中点E在直线BC上,则当x=4,y=3时,λ=5.
其中正确的有(写出所有正确结论的序号).
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【题目】已知函数f(x)=3x+λ3﹣x(λ∈R).
(1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集;
(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围.
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